Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，4），与直线y=-x+1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（-3，O）．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线AB于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值；
（3）是否存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）两点间的距离，可得关于m的二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据菱形的判定，可得答案．

解答 解：（1）当x=-3时，y=-（-3）+1=4，即B（-3，4），当x=0时，y=1，即A（0，1），
将（-1，4）（-3，4）（0，1）代入y=ax²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{9a-3b+c=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式y=-x²-4x+1；
（2）M（m，-m²-4m+1），N（m，-m+1），
MN=-m²-4m+1-（-m+1）=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，MN_最大值=$\frac{9}{4}$；
（3）不存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形，
理由如下：假如存在，
MN=BC=-m²-3m=4，
m²+3m+4=0，
△=3²-4×1×4=-7，
m不存在，
∴不存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质：顶点坐标是函数的最值，菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形．