Question

【题目】如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点于点，连接并延长，交射线于点交射线于点，连接交于点当点在上运动时(不包括两点)，以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确的是_______．(把你认为正确结论的序号都填上)

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

根据正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，对选项进行判断即可．

解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；

②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，

∵四边形PECF是矩形，

∴OF=OC，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠OFC=∠DAP，

∵∠DAP+∠AMD=90°，

∴∠GFM+∠AMD=90°，

∴∠FGM=90°，

∴AH⊥EF．

③正确．∵AD∥BH，

∴∠DAP=∠H，

∵∠DAP=∠PCM，

∴∠PCM=∠H，

∵∠CPM=∠HPC，

∴△CPM∽△HPC，

∴PCHP=PMPCPCHP=PMPC，

∴PC2=PMPH，

根据对称性可知：PA=PC，

∴PA2=PMPH．

④正确．∵四边形PECF是矩形，

∴EF=PC，

∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，

∵AC=2，

∴PC的最小值为，

∴EF的最小值为；

故答案为：②③④．