题目内容
【题目】如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．
（1）判断△AEF的形状为 ，并判断AD与⊙O的位置关系为 ；
（2）求t为何值时，EN与⊙O相切，求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧
长度的大小；
（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）
（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为 ．
（参考数据：sin37°＝
，tan37°＝
，tan74°≈
，sin74°≈
，cos74°≈
）
【答案】（1）等腰三角形，相切；（2）t=1，半径为
，劣弧
长度大于半径；（3）
；（4）1≤t≤
【解析】
（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，由勾股定理求出BC＝
＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，证明△EAH∽△BAC，得出
，求出AH＝4t，则FH＝AF﹣AH＝4t，AH＝FH，得出△AEF是等腰三角形，证明E、H、O三点共线，得出∠OAF+∠AOE＝90°，由AB平分∠DAM，得出∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，由圆周角定理得出∠AOE＝2∠EFA，则∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，即可得出AD与⊙O相切；
（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，易证四边形EHCN为矩形，得出EH＝NC，由勾股定理得出EH＝
＝3t，则NC＝3t，BC＝2NC＝6t，由BC＝6，得出t＝1，则AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，由勾股定理得出OA2＝OH2+AH2，解得x＝，得出OH＝
，tan∠AOH＝
，得出∠AOH＝74°，由∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，得出AE＞OA，则劣弧
长度的大于半径；
（3）当点E运动到B点时，t＝2，AF＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，S△AEF＝
AFBC＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AFCG+AEPG+EFNQ＝×(16+10+10)a＝48，解得a＝
，由勾股定理得出AC2+CG2＝AG2，得出AG＝；
（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，得出OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，由勾股定理得出AH2+OH2＝OA2，解得x＝t，则OH＝CK＝t，由勾股定理得出
，解得t＝，即可得出结果．
（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6，
设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，
∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，
∴△EAH∽△BAC，
∴，即
，
∴AH＝4t，
∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，
∴AH＝FH，
∵EH⊥AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∴E为
的中点，∠EAF＝∠EFA，
∵AH＝FH，
∴OH⊥AC，
∴E、H、O三点共线，
∴∠OAF+∠AOE＝90°，
∵AB平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，
∵∠AOE＝2∠EFA，
∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，
∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
故答案为：等腰三角形，相切；
（2）连接OA
由（1）知：EH⊥AC，
∵EN与⊙O相切，
∴∠OEN＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形EHCN为矩形，
∴EH＝NC，
在Rt△AHE中，EH＝＝3t，
∴NC＝3t，
∵点N为BC的中点，
∴BC＝2NC＝6t，
∵BC＝6，
∴6t＝6，
∴t＝1，
∴AH＝4，EH＝3，
设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝(x﹣3)2+42，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
∴OH＝
，
∴tan∠AOH＝
＝，
∴∠AOH＝74°，
∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，
∴AE＞OA，
∴劣弧长度的大于半径；
（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，
∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，
此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，
∴△AEF的内心运动的路径长为AG，
作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：
S△AEF＝AFBC＝×16×6＝48，
设CG＝PG＝NQ＝a，
则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AFCG+AEPG+EFNQ＝
×(16+10+10)a＝48，
解得：a＝，
在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+()2＝AG，
∴AG＝，
故答案为：；
（4）分别讨论两种极限位置，
①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；
②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，
连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：
则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，
∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，
设⊙O的半径为x，
则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即(4t)2+(x﹣3t)2＝x2，
解得：x＝t，
∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，
在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即(8﹣4t)2+(3+t)2＝(t)2，
解得：t＝，
∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1≤t≤，
故答案为：1≤t≤．
