Question

10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：
①图中全等三角形有三对；
②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的$\sqrt{2}$倍；
③DE²+2CD•CE=2OA²；
④AD²+BE²=2OP•OC．
正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；
结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．

解答 解：结论（1）正确，理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE=45°}\\{OA=OOC}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△COE（ASA），
同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）错误．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四边形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=${\frac{1}{2}S}_{△ABC}$
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=$\sqrt{2}$OA，
∴（CD+CE）²=CD²+CE²+2CD•CE=DE²+2CD•CE=2OA²；
结论（4）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OP}{OE}$，
即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，
∴AD²+BE²=2OP•OC．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．

点评 本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．