Question

10．如图，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，求点P到三角形的三边的距离之和PD+PE+PF的值．

Answer 1

分析 连接AP、BP、CP，设等边三角形的高为h，分别求出△APC、△APB、△BPC的面积，而三个三角形的面积之和等于△ABC面积，由此等量关系可求出到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于△ABC的高．

解答 解：连接AP、BP、CP，
设等边三角形的高为h，如图：
∵正三角形ABC边长为2，
∴h=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵S_△BPC=$\frac{1}{2}$BC•DP，
S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•PE，
S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PF，
∴S_△ABC==$\frac{1}{2}$BC•DP+$\frac{1}{2}$AC•PE+$\frac{1}{2}$AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC（DP+EP+FP）=$\frac{1}{2}$BC•h，
∴PD+PF+PE=h=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质及三角形的面积公式，难度较大，注意计算正确．