Question

3．如图，将函数y=$\frac{1}{2}$（x-2）²+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）

• A． $y=\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}-2$
• B． $y=\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+7$
• C． $y=\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}-5$
• D． $y=\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+4$

Answer 1

分析 先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1$\frac{1}{2}$），AC=4-1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．

解答
解：∵函数y=$\frac{1}{2}$（x-2）²+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m=$\frac{1}{2}$（1-2）²+1=1$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{2}$（4-2）²+1=3，
∴A（1，1$\frac{1}{2}$），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1$\frac{1}{2}$），
∴AC=4-1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y=$\frac{1}{2}$（x-2）²+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y=$\frac{1}{2}$（x-2）²+4．
故选D．

点评 此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．