题目内容
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC．分别延长BA，CD，交点为E．作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE=AO，BC=6，则CF的长为3
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
分析：连接AC，BD，OD，由圆周角定理可知∠BCA=∠BDA=90°，由圆内接四边形的性质可得∠BCF=∠BAD，根据相似三角形的判定定理可得Rt△BCF∽Rt△BAD，则有
=
，即
=
，又因为OD是⊙O的半径，AD=CD，根据垂径定理的推论得OD垂直平分AC，则OD∥BC，
=
，并且有△EOD∽△EBC，则
=
=
，
=
，而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6，可得到半径OD=4，CE=
DE，又∠EDA=EBC，∠E公共可得到△AED∽△CEB，则DE•EC=AE•BE，即有DE•
DE=4×12，可求出DE=4
，则CD=2
，则AD=2
，然后代入
=
即可求出CF的长．
| BC |
| BA |
| CF |
| AD |
| CF |
| BC |
| AD |
| AB |
| DE |
| CD |
| OE |
| OB |
| OE |
| BE |
| DE |
| CE |
| OD |
| BC |
| DE |
| CD |
| OE |
| OB |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| CF |
| BC |
| AD |
| AB |
解答：
解：如图，连接AC，BD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=∠BDA=90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF=∠BAD，
∴Rt△BCF∽Rt△BAD，
∴
=
，即
=
，
∵OD是⊙O的半径，AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
∴
=
，
∴△EOD∽△EBC，
∴
=
=
，
=
，
而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6
∴
=
=
=
，
=2，
∴OD=4，CE=
DE，
又∵∠EDA=EBC，∠E公共，
∴△AED∽△CEB，
∴DE•EC=AE•BE，
∴DE•
DE=4×12，
∴DE=4
，
∴CD=2
，则AD=2
，
∴
=
，
∴CF=
．
故答案为
．
解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=∠BDA=90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF=∠BAD，
∴Rt△BCF∽Rt△BAD，
∴
| BC |
| BA |
| CF |
| AD |
| CF |
| BC |
| AD |
| AB |
∵OD是⊙O的半径，AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
∴
| DE |
| CD |
| OE |
| OB |
∴△EOD∽△EBC，
∴
| OE |
| BE |
| DE |
| CE |
| OD |
| BC |
| DE |
| CD |
| OE |
| OB |
而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6
∴
| OE |
| BE |
| DE |
| CE |
| OD |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
| DE |
| CD |
∴OD=4，CE=
| 3 |
| 2 |
又∵∠EDA=EBC，∠E公共，
∴△AED∽△CEB，
∴DE•EC=AE•BE，
∴DE•
| 3 |
| 2 |
∴DE=4
| 2 |
∴CD=2
| 2 |
| 2 |
∴
| CF |
| 6 |
2
| ||
| 8 |
∴CF=
3
| ||
| 2 |
故答案为
3
| ||
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质以及垂直定理的推论．
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