Question

6．如图，在正方形ABCD中，对角线AD，BC交于点O，点E、F分别在AC，CD边上，EF∥AD，交BC于点P，若点O是△BEF的重心．
（1）求tan∠ABE的值．
（2）求$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的重心的性质得到CP=2OP，根据平行线分线段成比例定理、正切的概念计算即可；
（2）设正方形的边长为a，求出EF、BP，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵点O是△BEF的重心，
∴OB=2OP，
则点P是OC的中点，
∵EF∥AD，
∴点E是AD的中点，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）设正方形的边长为a，
则BC=$\sqrt{2}$a，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，BP=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{3\sqrt{2}}{2}a}{{a}^{2}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．