Question

如图，抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a=2，b=-6，c=9时，求点D的坐标（直接写出答案）；
（2）在（1）的条件下
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先将a=2，b=-6，c=9代入y=ax²+bx+c，得到y=2x²-6x+9，再利用配方法求出其顶点P的坐标为（

3

2

，

9

2

），然后根据PD⊥x轴于D，即可求出点D的坐标为（

3

2

，0）；
（2）①首先根据平移的性质得出a=a′=2，抛物线F与抛物线F′都经过y轴上的同一点A，得出c=c′=9，则抛物线F′的解析式为y=2x²+b′x+9，再将D的坐标代入抛物线F′中，计算得出b′=-9，进而求出b：b′的值；
②先由抛物线F′为y=2x²-9x+9，解方程2x²-9x+9=0，得出点C的坐标为（3，0）．运用待定系数法求出直线OP的解析式为y=3x，由于点B是抛物线F与直线OP的交点，解方程2x²-6x+9=3x，求出x的值，得出点B的坐标为（3，9），由B、C、A、O四点的坐标可知BC∥OA，AB∥OC，则四边形OABC是平行四边形，又∠AOC=90°，进而判定四边形OABC是矩形．

解答：解：（1）∵a=2，b=-6，c=9，
∴抛物线y=ax²+bx+c即为y=2x²-6x+9，
∵2x²-6x+9=2（x²-3x）+9=2（x-

3

2

）²+

9

2

，
∴点P的坐标为（

3

2

，

9

2

）．
∵PD⊥x轴于D，
∴点D的坐标为（

3

2

，0）；

（2）①根据题意，得a=a′=2，c=c′=9，
∴抛物线F′的解析式为y=2x²+b′x+9．
又∵抛物线F′经过点D（

3

2

，0），
∴0=2×

9

4

+

3

2

b′+9．
∴b′=-9．
∴b：b′=（-6）：（-9）=

2

3

；
②四边形OABC是矩形．理由如下：
由上可得，抛物线F′为y=2x²-9x+9．
令y=0，则2x²-9x+9=0，
解得x₁=

3

2

，x₂=3．
∵点D的横坐标为

3

2

，
∴点C的坐标为（3，0）．
设直线OP的解析式为y=kx．
∵点P的坐标为（

3

2

，

9

2

），
∴

9

2

=

3

2

k，解得k=3，
∴直线OP的解析式为y=3x．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴2x²-6x+9=3x，
∴x₁=

3

2

，x₂=3．
∵点P的横坐标为

3

2

，
∴点B的横坐标为3．
把x=3代入y=3x，得y=3×3=9．
∴点B的坐标为（3，9）．
∵B（3，9），C（3，0），A（0，9），O（0，0），
∴BC∥OA，AB∥OC，
∴四边形OABC是平行四边形，
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求正比例函数的解析式，抛物线顶点的求法，两函数交点坐标的求法，平移的规律以及矩形的判定，综合性较强，难度适中．