Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°．O为AB上的点．以点O为圆心作⊙O与BC相切于点D．若AD=2

3

，∠CAD=30°，则弧AD的长为（　　）

• A、

  2

  3

  π
• B、

  4

  3

  π
• C、

  5

  3

  π
• D、

  5

  6

  π

Answer 1

考点：切线的性质,弧长的计算

专题：

分析：首先设⊙O与AB的另一个交点为E，连接OD，DE，由⊙O与BC相切于点D，可得OD⊥BC，又由Rt△ABC中，∠C=90°，可得OD∥AC，然后由∠CAD=30°，求得∠DAE与∠AOD的度数，然后由AD=2

3

，在Rt△ADE中，利用余弦，求得AE的长，继而求得答案．

解答：解：设⊙O与AB的另一个交点为E，连接OD，DE，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∵∠CAD=30°，
∴∠ODA=∠CAD=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，AE=

AD

cos∠OAD

=

2 3

3 2

=4，
∴⊙O的半径r=2，
∴

AD

=

120π×2

180

=

4

3

π．
故选B．

点评：此题考查了切线的性质、弧长公式以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．