Question

11．利用配方法求出关于x的一元二次方程的根，ax²+bx+c=0（a≠0），并指出其根的个数，若有两个根，两根的和与积．

Answer 1

分析 方程整理后，利用完全平方公式变形，根据b²-4ac与0的关系判断其根的情况，进而求出两根的和与积．

解答 解：方程ax²+bx+c=0（a≠0），
变形得：x²+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，即x²+$\frac{b}{a}$x=-$\frac{c}{a}$，
配方得：x²+$\frac{b}{a}$x+$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}$，即（x+$\frac{b}{2a}$）²=$\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}$，
当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根为x₁=x₂=-$\frac{b}{2a}$；此时x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}$；
当b²-4ac＜0时，方程无解；
当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，此时x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．

点评 此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．