Question

13．设ABCD为圆内接四边形，对角线AC平分BD于E．
求证：AB²+BC²+CD²+DA²=2AC²．

Answer 1

分析 由结论联想到运用余弦定理，则有AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，只需证到AD•DC•cos∠ADC=-AB•BC•cos∠ABC．根据圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠ABC=180°，从而可得cos∠ADC=-cos∠ABC，sin∠ADC=sin∠ABC，只需证到AD•DC=AB•BC，只需证到S_△ADC=S_△BAC，过点D作DG⊥AC于G，过点B作BH⊥AC于H，只需证到DG=BH，只需证到△DGE≌△BHE即可．

解答 证明：过点D作DG⊥AC于G，过点B作BH⊥AC于H，如图，
则有∠DGE=∠BHE=90°．
在△DGE和△BHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠BHE}\\{∠DEG=∠BEH}\\{DE=BE}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△BHE，
∴DG=BH，
∴S_△ADC=S_△BAC，
∴$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴cos∠ADC=-cos∠ABC，sin∠ADC=sin∠ABC，
∴AD•DC=AB•BC．
在△ADC中，根据余弦定理可得，
AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC．
在△ABC中，根据余弦定理可得，
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC．
∴2AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC+AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=AD²+DC²+2AB•BC•cos∠ABC+AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=AD²+DC²+AB²+BC²．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、互补两角的同名三角函数的关系、余弦定理等知识，由结论的特点联想到余弦定理是解决本题的关键．