Question

16．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+4，与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求OA的长，由垂径定理得：OB=OA=4，写出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）先求直线l与两坐标轴的交点坐标，再证明△AOE∽△DOA，可得结论：直线l与⊙E相切；
（3）如图2，作辅助线，构建直角△PQM，根据解析式设M（m，$\frac{3}{4}$m+4），P（m，-$\frac{1}{16}\\;{m}^{2}+m-4$m²+m-4），则PM=$\frac{1}{16}（m-2）^{2}$+$\frac{31}{4}$，当m=2时，PM取最小值是$\frac{31}{4}$，计算点P（2，-$\frac{9}{4}$），说明△PQM的三个内角固定不变，即△PQM的三边的比例关系不变，当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，根据三角函数计算PQ的最小值即可．

解答 解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA=$\sqrt{A{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4），B（0，-4），C（8，0），
∵抛物线的顶点为C，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-8）²，
将点B的坐标代入得：64a=-4，
a=-$\frac{1}{16}$，
∴y=-$\frac{1}{16}$（x-8）²，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{16}{x}^{2}$+x-4；

（2）直线l与⊙E相切；
理由是：在直线l的解析式y=$\frac{3}{4}$x+4中，
当y=0时，即$\frac{3}{4}$x+4=0，x=-$\frac{16}{3}$，
∴D（-$\frac{16}{3}$，0），
当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵$\frac{OE}{OA}=\frac{3}{4}$，$\frac{OA}{OD}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{OA}{OD}$，
∵∠AOE=∠DOA=90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，
∴∠DAO+∠EAO=90°，
即∠DAE=90°，
∴直线l与⊙E相切；

（3）如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M（m，$\frac{3}{4}$m+4），P（m，-$\frac{1}{16}\\;{m}^{2}+m-4$m²+m-4），
则PM=$\frac{3}{4}m$+4-（-$\frac{1}{16}\\;{m}^{2}+m-4$m²+m-4）=$\frac{1}{16}{m}^{2}$-$\frac{1}{4}$m+8=$\frac{1}{16}（m-2）^{2}$+$\frac{31}{4}$，
当m=2时，PM取最小值是$\frac{31}{4}$，
此时，P（2，-$\frac{9}{4}$），
对于△PQM，
∵PM⊥x轴，
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ_最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=$\frac{31}{4}×\frac{4}{5}$=$\frac{31}{5}$，
∴当抛物线上的动点P（2，-$\frac{9}{4}$）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为$\frac{31}{5}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、切线的判定、三角形相似的性质和判定、图形与点的坐标特点以及线段的最值问题，第三问有难度，利用二次函数的最值确定点到直线的最小距离．