Question

画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，
①线段OE与CD之间有怎样的数量关系：______．
②求证：△CDF为等腰直角三角形．

Answer 1

（1）根据题意要求：画∠AOB的平分线OP，作线段CD的垂直平分线EF；

（2）①OE=

1

2

CD．（4分）
②方法一：∵EF是线段CD的垂直平分线，
∴FC=FD，（5）
∵△COD为直角三角形，E为CD的中点，
∴OE=CE=

1

2

CD，
∴∠COE=∠ECO．
设CD与OP相交于点G，
∵∠EOF=45°-∠COE，
∠EFO=90°-∠EGF=90°-（45°+∠ECO）=45°-∠ECO，
∴∠EOF=∠EFO，EF=OE．（6分）
又CE=OE=EF，∠CEF=90°，
∴∠CFE=45°，同理∠DFE=45°；
∴∠CFD=90°，△CDF为等腰直角三角形．（7分）

方法二：过点F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分别为M、N．（5分）
∵OP是∠AOB的平分线，
∴FM=FN．
又EF是CD的垂直平分线，
∴FC=FD．
∴Rt△CFM≌Rt△DFN（HL），∠CFM=∠DFN．（6分）
在四边形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°，
∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形．（7分）