Question

如图，在直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（8，0）和（0，6），点C为AB的中点，点D在x轴上，当D点坐标为

 

时，由点A，C，D组成的三角形与△AOB相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：首先根据题意求得AB与AC的长，然后分别从当

AD

AO

=

AC

AB

，即

AD

8

=

5

10

时，△ACD∽△ABO与当

AC

AO

=

AD

AB

，即

5

8

=

AD

10

时，△ACD∽△AOB去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵在直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（8，0）和（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∵点C为AB的中点，
∴AC=

1

2

AB=5，
∵∠OAB是公共角，
∴如图1，当

AD

AO

=

AC

AB

，即

AD

8

=

5

10

时，△ACD∽△ABO，
解得：AD=4，
∴OD=AB-AD=4，
∴点D（4，0）；
如图2，当

AC

AO

=

AD

AB

，即

5

8

=

AD

10

时，△ACD∽△AOB，
解得：AD=

25

4

，
∴OD=OA-AD=

7

4

，
∴点D（

7

4

，0）；
∴当D点坐标为（4，0）或（

7

4

，0）时，由点A，C，D组成的三角形与△AOB相似．
故答案为：（4，0）或（

7

4

，0）．

点评：此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．