Question

17．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，AD=AC，DE⊥BC，交AB于点E，CE与AD相交于点F，BC=10，S_△CDF=6．
①求证：△ABC∽△FCD．
②求△ABC的面积S_△ABC．
③求DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积；
（3）过A作AM⊥CD，垂足为M．由（2）知S_△ABC=24，由于S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AM，BC=10，求得AM=$\frac{24}{5}$，根据平行线分线段成比例即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD．
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB．
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：∵△ABC∽△FCD，
∴$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△ABC}}$=$（\frac{CD}{BC}）^{2}$，
∵D是BC边上的中点，BC=10，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△ABC}}$=$（\frac{CD}{BC}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵S_△CDF=6，
∴S_△ABC=24；

（3）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．
由（2）知S_△ABC=24，
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AM，BC=10，
∴AM=$\frac{24}{5}$，
又∵DM=CM=$\frac{1}{2}$CD，DE∥AM，
∴DE：AM=BD：BM=$\frac{2}{3}$，
∴DE=$\frac{16}{5}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的性质与判定，利用三角形的面积公式求线段的长，正确的作出辅助线是解题的关键．