Question

8．已知在长方形ABCD中，AB=4，BC=$\frac{25}{2}$，O为BC上一点，BO=$\frac{7}{2}$，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在y轴上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（2）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P落在长方形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（3）若将（2）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（3）分OM=OP、OP=PM、OM=MP三种情况，根据等腰三角形的性质解答．

解答 解：（1）∵以OM为一边作等腰△OMP，点P在y轴上，
∴OP=OM，又点M的坐标为（1，0），
∴OP=OM=1，
∴符合条件的等腰三角形有2个，
则点P的坐标为（0，-1）、（0，1）；
（2）由题意得，OM为等腰△OMP的底边，
则点P在线段OM的垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（$\frac{1}{2}$，4），
则符合条件的等腰三角形有1个；
（3）如图，∵OP=OM，
∴OP=4，
∴BP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{7}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
由题意得，P′的坐标为（0，4），P′′的坐标为（2，4），P′′′的坐标为（4，4），
符合条件的等腰三角形有4个．

点评 本题考查的是等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键．