Question

17．在菱形ABCD中，∠BAD=120°，△AEF等边三角形，且点C在边EF上，AE，AF分别交DC于点G，H．
（1）如图1，连接AC，求证：①CG=DH；②△GCE∽△CAF．
（2）如图2，连接BD，交AE，AF于点O，P，若∠BAG=45°，DP=3，OP=4，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）①根据菱形的想知道的∠B=∠BAC=∠CAD=60°，推出△ABC与△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AC=AD，∠ACB=∠D=60°，得到∠GAC=∠DAH，根据全等三角形的性质得到CG=DH；②根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠DAO=75°，由菱形的性质得到∠ADO=$\frac{1}{2}∠$ADC=30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠B=∠BAC=∠CAD=60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠ACB=∠D=60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠GAC=∠DAH，
在△ACG与△ADH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAC=∠HAD}\\{AC=AD}\\{∠ACG=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ADH，
∴CG=DH；
②∵∠E=∠F=60°，
∵∠CGE=∠ACG+∠GAC=60°+∠GAC，
∠ACF=∠E+∠GAC=60°+∠GAC，
∴△GCE∽△CAF；

（2）∵∠BAG=45°，∠BAD=120°，
∴∠DAO=75°，
∵∠ADO=$\frac{1}{2}∠$ADC=30°，
∴∠AOD=75°，
∴∠DAO=∠AOD，
∴AD=OD=OP+DP=7，
∴AB=7．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．