Question

如图，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：设EG=x，则BG=

4

3

x，CE=4-

4

3

x，DE=5-

16

12

x，利用矩形的面积公式即可得到矩形DEFG的面积和x的函数关系，利用函数的性质即可求出其最大值．

解答：解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DE∥FG，
∴△CDE∽△ACB，
∴

DE

AB

=

CE

BC

，
设EG=x，长方形DEGF的面积为y，
则BG=

4

3

x，CE=4-

4

3

x，DE=5-

16

12

x，
矩形面积S=x（5-

16

12

x）=-

16

12

（x-

6

5

）²+3，
∴当x=

6

5

时，矩形的面积最大为3．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，以及二次函数求最值的问题，只要能熟练掌握，便能很容易的解决问题．