Question

8．如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AC、CE、AF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若AB=AC，求证：四边形AFCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质易证AB=CD，∠B=∠D，再证明BF=DE，即可证明△ABF≌△CDE；
（2）首先证明四边形四边形AFCE是平行四边形，再证明AF⊥BC，由一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．

解答 解：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BF=DE，
在△ABF和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠D}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF=CE．
又∵CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵AB=AC，F分别是BC的中点，
∴AF⊥BC．
即∠AFC=90°．
∴四边形AFCE是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的判断和性质．全等三角形的判断和性质以及矩形的判断，熟记各种特殊几何图形的判断方法和性质是解题的关键．