题目内容
如图甲所示，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；（1）求抛物线函数关系式；
（2）矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3，将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图乙所示）．
①当
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
③现将甲图中的抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于G、F两点，与原抛物线交于点Q，设△FGQ的面积为S，求S关于m的函关系式．
【答案】分析：（1）设出抛物线的顶点式y=a（x-2）2+4，将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值，从而求出函数的解析式．
（2）①由（1）抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．
②设出点N（t，-（t-2）2+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．
③通过平移后可以表示出其解析式，利用其解析式就可以求出Q点的坐标，再利用三角形的面积公式就可以求出S与m的函数关系式．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
∵抛物线过点m（2，4）和原点，
∴0=4a+4，
∴a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4
（2）①∵y=-（x-2）2+4
∴当y=0时，-（x-2）2+4=0，
∴x1=0，x2=4，
∴E（4，0），
设直线ME的解析式为：y=kx+b，则
，
解得：
，
∴直线ME的解析式为：y=-2x+8，
∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，
∴当t=
时，P（
，
）
∴当x=
时，y=3≠
，
∴当
时，点P不在直线ME上．
②设点N（t，-（t-2）2+4），则P（t，t），
∴PN=-t2+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S=
=-t2+3t+3，
∴S=-（t2-3t+
-
）+3=-（t-
）2+
∴当t=
时，S的最大值是
；
③由题意可以知道经过F、G的抛物线的解析式为：y=-（x-2-m）2+4，
∵经过O、E的抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4，
∴
，解得m=0（m＞0，故舍去），或x=
，
∴
，
∴S=
=|-
|
如图：当Q点在x轴的下方的时候，同样可以得出：
S=
=|-
|
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．
（2）①由（1）抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．
②设出点N（t，-（t-2）2+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．
③通过平移后可以表示出其解析式，利用其解析式就可以求出Q点的坐标，再利用三角形的面积公式就可以求出S与m的函数关系式．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
∵抛物线过点m（2，4）和原点，
∴0=4a+4，
∴a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4
（2）①∵y=-（x-2）2+4
∴当y=0时，-（x-2）2+4=0，
∴x1=0，x2=4，
∴E（4，0），
设直线ME的解析式为：y=kx+b，则
，解得：
，∴直线ME的解析式为：y=-2x+8，
∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，
∴当t=
时，P（，）∴当x=
时，y=3≠，∴当
时，点P不在直线ME上．②设点N（t，-（t-2）2+4），则P（t，t），
∴PN=-t2+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S=
=-t2+3t+3，∴S=-（t2-3t+
-）+3=-（t-）2+∴当t=
时，S的最大值是；③由题意可以知道经过F、G的抛物线的解析式为：y=-（x-2-m）2+4，
∵经过O、E的抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4，
∴
，解得m=0（m＞0，故舍去），或x=，∴
，∴S=
=|-|如图：当Q点在x轴的下方的时候，同样可以得出：
S=
=|-|点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．
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轴交于A、B两点，与
轴交于点C．
PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
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