Question

如图11所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

【小题1】求A、B、C三点的坐标
【小题2】过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
【小题3】在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

p;【答案】
【小题1】令，得  解得
令，得
∴ A   B   C   （2分）
【小题2】∵OA=OB=OC=   ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB，       ∴PAB=
过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴  
解得，（不合题意，舍去）
∴PE=··························· 4分）
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE
=  6分）
【小题3】假设存在
∵PAB=BAC =  ∴PAAC
∵MG轴于点G，  ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC=  ∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=  ∴AP=  ················· 7分）
设M点的横坐标为，则M
① 点M在轴左侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=
∵AG=，MG=
即 
解得（舍去） （舍去）
(ⅱ) 当MAG PCA时有=
即
解得：（舍去） 
∴M ························· （10分）
② 点M在轴右侧时，则 

(ⅰ) 当AMG PCA时有=
∵AG=，MG=     
∴   
解得（舍去）  
∴M 
(ⅱ) 当MAGPCA时有= 
即
解得：（舍去）   
∴M
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为，，    （13分）解析:
略