Question

【题目】如图，是等边三角形，点在边上(点与点不重合) ，过点作交于点，连结，分别为的中点，连结．

（1）求证：

（2）的大小是 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）120°

【解析】

（1）易证△ADE是等边三角形，可求得，然后利用三角形中位线定理得到，，即可证明；

（2）根据三角形中位线定理和三角形外角的性质求出∠MNE＝∠ABE，∠ENP＝120°－∠ABE，然后根据∠MNP＝∠MNE＋∠ENP计算即可.

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，

∵DE∥AB，

∴∠ABC=∠ADE=60°，∠ACB=∠AED=60°，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD=AE，

∴，

∵M、N分别为DE、BE的中点，

∴，

∵N、P分别为BE、BC的中点，

∴，

∴；

（2）∵M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，

∴MN∥AB，NP∥EC，

∴∠MNE＝∠ABE，∠BNP＝∠BEC＝∠A＋∠ABE＝60°＋∠ABE，

∴∠ENP＝180°－∠BNP＝180°－60°－∠ABE＝120°－∠ABE，

∴∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋120°－∠ABE＝120°，

故答案为：120°.