Question

【题目】如图，二次函数的图像与轴相交于点A(-1，0)，B(4，0)，与轴相交于点C．

（1）求该函数的表达式；

（2）若点P（2，m）为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC，求线段PQ的长；

（3）在（2）的条件下，点M为该函数图象上一点，且∠MAP=45°，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（4，0）.

【解析】

（1）把点A、B代入二次函数的解析式，求出a、b的值，即可得到答案；

（2）作PN⊥x轴与N，交BC于点G，先求出点P和点C，然后得到直线BC的解析式，从而得到点N和点G的坐标，得到PG的长度，然后利用△PQG∽△BOC，即可求出PQ的长度；

（3）连接AP，则得到△APN是等腰直角三角形，则∠PAN=45°，则点M与点B重合，即可得到点M的坐标.

解：（1）根据题意，把点A、B代入抛物线，得

，

解得：，

∴二次函数的解析式为：；

（2）如图，作PN⊥x轴与N，交BC于点G，

∵点P（2，m）在抛物线上，则

，

令x=0，则y=2，

∴点P为（2，3），点C为（0，2），点N为（2，0），

设直线BC为，则

，解得：，

∴直线BC的解析式为：；

令，，

∴点G的坐标为：（2，1），

∴PG=2，

∵OC∥PN，PQ⊥BC，

∴∠OCB=∠PGQ，∠BOC=∠PQG=90°，

∴△PQG∽△BOC，

∴，

∵BO=4，PG=2，，

∴；

（3）如图，连接AP，

由（2）可知，点P为（2，3），点N为（2，0），点A为（-1，0），

∴AN=PN=3，

∵PN⊥AN，

∴△APN是等腰直角三角形，

∴∠PAN=45°，

∵点M在抛物线上，且∠MAP=45°，

∴点M与点B重合，此时点M的坐标为（4，0）；

∴点M的坐标为：（4，0）.