Question

如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点．已知反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为

1

2

．
（1）求k和m的值；
（2）当1≤x≤3时，求函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=

k

x

的图象交于P，Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=

k

x

，可求出k的值；
（2）先分别求出x=1和3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解；
（3）当P、Q是反比例函数与y=x的交点时，PQ长度最小，据此即可求解．

解答：解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S_△AOB=

1

2

•OB•AB=

1

2

×2×m=

1

2

，
∴m=

1

2

；
∴点A的坐标为（2，

1

2

），
把A（2，

1

2

）代入y=

k

x

，得

1

2

=

k

2

，
∴k=1；
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=

1

3

，
又∵反比例函数y=

1

x

在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为

1

3

≤y≤1；
（3）在y=

1

x

中，当x=y时，解得：x=y=1，
则P、Q的坐标是（1，1）和（-1，-1），则PQ=

22+22

=2

2

．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．