Question

如图，这是当初中央电视台设计台徽时的模型，它是以正方形ABCD的每个顶点为圆心，每边长为半径画圆弧交于E、F、G、H．若边长AB=4cm，则点F到BC的距离是

 

，围成的曲边四边形EFGH的周长是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的性质,弧长的计算

专题：

分析：连接AF、DF，根据圆的定义判断出△ADF是等边三角形，根据等边三角形的性质求出点F到AD的距离，再求出点F到BC的距离即可；根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DG的圆心角是30°，然后求出弧FG的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧FG的长，然后根据对称性，曲四边形的四条边都相等列式计算即可得解．

解答：解：如图，连接AF、DF，
由圆的定义，AD=AF=DF，
所以，△ADF是等边三角形，
所以，点F到AD的距离=

3

2

×4=2

3

，
所以，点F到BC的距离=（4-2

3

）cm；

∵∠BAD=90°，∠FAD=60°，
∴∠BAF=90°-60°=30°，
同理，弧DG的圆心角是30°，
∴弧FG的圆心角是90°-30°×2=30°，
∴

FG

=

30•π•4

180

=

2

3

π，
由对称性知，曲四边形的四条边都相等，
所以，曲边四边形EFGH的周长=

2

3

π×4=

8

3

πcm．
故答案为：（4-2

3

）cm；

8

3

πcm．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定，弧长的计算，作辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于熟练掌握图形的对称性．