Question

棱长为a的正方体摆放成如图所示的形状，现在请回答下列问题：

(1)如果这一物体摆放成了如图所示的上下三层，求该物体的表面积(列出算式，并求出结果)；

(2)依图中摆放方法类推，如果该物体共摆放了20层，求该物体的表面积(列出算式，并求出结果)．

Answer 1

答案：
解析：

分析　如果计算每层上小正方体露在外面的表面积，再把它们相加，即便能计算出第(1)问，但对于第(2)问来说，困难相当大，因此要寻找新的解题途径．注意到物体从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图完全相同，而这六个方向的视图面积之和正好是物体的表面积．于是准确画出每个方向的视图是解答本题的关键． 　　解　(1)由题中所示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图均为答图，故每个方向上均有6个等面积的小正方形，其面积均为a2．因此，当物体摆成上下三层时，表面积为6×(1＋2＋3)×a2＝36 a2． 　　(2)当摆放20层时，由答图类推可知，每个方向上均有(1＋2＋3＋…＋20)个小正方形，因此，其表面积为6×(1＋2＋3＋…＋20)×a2＝6×210a2＝1260a2． 点拨　我们也可以依此类推出摆放n层时，表面积为6×(1＋2＋3＋…＋n)×a2＝(3n2＋3n)a2．