Question

如图，在□ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G.

(1)求证：BE⊥CF；

(2)若AB=3，BC=5，CF=2，求BE的长.

Answer 1

(1)证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠ABC.

同理∠BCF=∠BCD.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,

∴∠ABC+∠BCD=180°,

∴∠CBE+∠BCF=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=90°,

∴∠CGB=90°，即BE⊥CF.

(2)过点E作EP∥FC，交BC的延长线于点P，则四边形CPEF是平行四边形.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.

在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3.

同理DF=DC=3.

∴EF=AE+DF-AD=1，

∴CP=EF=1，EP=CF=2，BP=6.

又由(1)已证得BE⊥CF，∴BE⊥EP，

∴在Rt△BPE中，BE===4.