题目内容
【题目】如图，在
中，
，以
为直径作圆
，分别交
于点
，交
的延长线于点
，过点作
于点
，连接
交线段
于点
．
（1）求证：
是圆的切线；
（2）若
为
的中点，求
的值；
（3）若
，求圆的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：
，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：
，则
，求出r的值即可．
证明：(1)连接
如图1所示
是等腰三角形
又在
中
由①②得： 
是圆
的切线
(2)如图2，在圆中，
，
∴由(1)可知：
，
是等腰三角形，
， 且点
是
中点，
设
，
，则
，
连接
， 则在圆中，
， 
，
，
是
的中点，
是的中位线，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
(3)如图2，设
的半径为
，即
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
在中，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
在
和
中，
,
，
解得: 
，
(舍)
综上所述, 的半径为.
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