Question

【题目】已知，，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，，设，．

（1）如图1，若点D在线段C上，点E在线段AC上，，，则______；________．

（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则，之间有什么关系式？它说明理由．

（3）是否存在不同于（2）中的，之间的关系式？请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）20，10；（2）α=2β，理由见解析；（3）α=2β-180°或α=180°-2β，理由见解析

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，利用外角的性质求出∠ADC，进而可求出β的值；

（2）设∠ABC=x，∠AED=y，由三角形外角的性质可得y=β+x，α+x=y+β，整理可得，之间的关系；

（3）①当点E在CA的延长线上，设∠ABC=x，∠ADE=y，由三角形外角的性质得x+α=β-y，由三角形内角和得x+y+β=180°，整理即可得出结论；

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同①的方法即可得出结论．

解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴∠BAC=60°，

∵AD=AE，∠ADE=70°，

∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°，

∴α=∠BAD=60°-40°=20°，

∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，

∴β=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°，

故答案为：20，10；

（2）α=2β，

设∠ABC=x，∠AED=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△DEC中，y=β+x，

在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，

∴α=2β；

（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，

如图1

设∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x+α=β-y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=2β-180°，

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，

如图2，

设∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x=α+β-y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=180°-2β．

综上可知，不同于（2）的结论有：α=2β-180°或α=180°-2β．