Question

如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于E点，BD=DE
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若E是AC的中点，⊙O的半径为2，连接BE，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）利用同弦所对的圆心角相等和圆周解是圆心角的一半等量代换得出∠C=∠ABC，从而得出三角形是等腰三角形．
（2）从图中可以看出阴影部分的面积=扇形OBD的面积．根据扇形的面积公式计算即可．

解答：（1）证明：∵BD=DE，
∴∠BOD=∠DOE．
∵∠BAC=

1

2

∠BOE，
∴∠BOE=∠BOD=∠DOE．
∵OA=OE，
∴∠BAC=∠OEA．
∴∠OEA=∠DOE．
∴AC∥OD．
∴∠C=∠ODB．
∵∠ABC=∠ODE，
∴∠C=∠ABC．
∴△ABC是等腰三角形．

（2）解：根据扇形面积公式得：

60π×4

360

=

2

3

π．

点评：本题综合考查了等弦对等角，及圆心角是同弧所对的圆周角的2倍，及扇形的面积公式．