Question

如图、四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形的周长为30，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：连接BD，易证△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，因而只要求出CD与BD的长就可以求出结果．

解答：解：连接BD，作DE⊥AB于E，
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE=BE=

1

2

AB=3，
∴DE=

AD2-AE2

=3

3

，
因而△ABD的面积是=

1

2

×AB•DE=

1

2

×6×3

3

=9

3

，
∵∠ADC=150°
∴∠CDB=150°-60°=90°，
则△BCD是直角三角形，
又∵四边形的周长为30，
∴CD+BC=30-AD-AB=30-6-6=18，
设CD=x，则BC=18-x，
根据勾股定理得到6²+x²⁼（18-x）²
解得x=8，
∴△BCD的面积是

1

2

×6×8=24，
S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=9

3

+24．
答：四边形ABCD的面积是9

3

+24．

点评：考查了勾股定理和等边三角形的判定与性质，注意求不规则图形的面积可以转化为求一些规则图形的面积的和或差的问题．