Question

8．如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE=CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH．
（1）若DE=10，求线段AB的长；
（2）求证：BG=BC；
（3）求证：DE-HG=EG．

Answer 1

分析 （1）设AE=x，则AD=2x，在直角三角形AED中利用勾股定理即可求出x的值，进而求出AB的长；
（2）利用已知得出B、C、G、E四点共圆，得出BG=BC，
（3）证得BH是GC的中垂线，再利用△BHC≌△CGD，得出GH=DG即可证明DE-HG=EG．

解答 （1）解：设AE=x，则AD=2x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴x²+（2x）²=10²，
∴x=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2AE=4$\sqrt{5}$；

（2）证明：在正方形ABCD中，
易证RT△CDF≌RT△DAE，
∴∠FCD=∠ADE，
∴∠GDC+∠DCF=90°，
∴∠DGC=∠CGE=90°，
∴∠EGC=∠EBC=90°，
∴∠EGC+∠EBC=180°，
∴B、C、G、E四点共圆，
∠AED=∠BCG，
连EC，
∴∠BGC=∠BEC，
∵BE=EA，BC=AD，
∴RT△BCE≌RT△ADE，
∴∠AED=∠BEC，
∴∠BGC=∠AED，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC；
（3）证明：∵BH平分∠GBC，
∴BH是GC的中垂线，
∴GH=HC，
∴GH=DG，
∴△DGH是等腰直角三角形，
即：DE-HG=EG．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与四点共圆的性质与判定，根据已知得出B、C、G、E四点共圆，以及BG是GC的中垂线是解题关键．