Question

14．在△ABC中，∠B=15°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于点M，交BC于点N．已知BM=12cm，求AC的长．

Answer 1

分析 连接NA，由MN是线段AB的垂直平分线可知，NA=NB，∠1=∠B，再根据∠2是△ABN的外角可得出∠2的度数，在Rt△ACN中根据∠2=30°可知AC=$\frac{1}{2}$AN，根据勾股定理可得出结论．

解答 解：连接NA，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴MA=MB=12cm，NA=NB，
∴∠MAN=∠B=15°，
∵∠ANC是△ABN的外角，
∴∠ANC=15°+15°=30°，
∴Rt△ACN中，AC=$\frac{1}{2}$AN，
设AC=x，则AN=2x=BN，CN=$\sqrt{3}$x，
∵在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²
∴x²+（2x+$\sqrt{3}$x）²=24²，
解得x=12$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，
故AC的长为12$\sqrt{2-\sqrt{3}}$．

点评 本题主要考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．