题目内容
已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC=| 4 | 3 |
的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB交射线BP于点F．（1）求证：PC2=PE•PF；
（2）设PN=x，CE=y，试建立y和x之间的函数关系式，并求出定义域；
（3）连接PD，在点P运动过程中，如果△EFC和△PDC相似，求出PN的长．
分析：（1）利用相似三角形的判定定理求出△PEC∽△PCF，再利用相似三角形的性质求出
=
；
（2）利用平行线的性质得出
=
；
（3）利用逆推求PN的长．
| PC |
| PF |
| PE |
| PC |
（2）利用平行线的性质得出
| PN |
| EG |
| BN |
| BG |
（3）利用逆推求PN的长．
解答：解：（1）∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵直线MN是梯形的对称轴，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC2=PE•PF；
（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC=tan∠DCB=
，
∴EG=
y，GC=
y．
由题意有EG∥MN，
∴
=
，即
=
，
∴y=
（0＜x≤3）；
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=
，
∴
=
，
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH=EH=
．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=
=
•
，
又∵
=
，
∴x=
．
因为2都在定义域内，所以当x=
或x=2时，△EFC和△PDC相似．
∴∠ABC=∠DCB，
∵直线MN是梯形的对称轴，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC2=PE•PF；
（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC=tan∠DCB=
| 4 |
| 3 |
∴EG=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
由题意有EG∥MN，
∴
| PN |
| EG |
| BN |
| BG |
| x | ||
|
| 4.5 | ||
9-
|
∴y=
| 15x |
| x+6 |
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=
| 3 |
| 4 |
∴
| 1.5 |
| 4-x |
| 3 |
| 4 |
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH=EH=
| 5-y |
| 2 |
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=
| DH |
| cos∠ODH |
| 5-y |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
又∵
| MO |
| MP |
| 4 |
| 3 |
∴x=
25±
| ||
| 16 |
因为2都在定义域内，所以当x=
25±
| ||
| 16 |
点评：主要考查相似三角形的判定定理及性质和平行线的性质．
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