Question

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于E，D在线段AB上，AD=AC，AF平分∠CAE交CE于F．

（1）求证：FD∥CB；

（2）若D在线段BA的延长线上，AF是∠CAD的角平分线AM的反向延长线，其他条件不变，如图2，问（1）中结论是否仍成立？并说明理由．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．

【分析】（1）易证∠DAF=∠CAF，即可证明△DAF≌△CAF，可得∠ACE=∠ADF，易证∠B=∠ACE，即可求得∠ADF=∠B，即可解题；

（2）作AG⊥DF，易证AE=AG，即可证明RT△ADG≌RT△AEC，可得∠D=∠ACE，易证∠ACE=∠B，即可求得∠D=∠B，即可解题．

【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAE，

∴∠DAF=∠CAF，

在△DAF和△CAF中，

，

∴△DAF≌△CAF（SAS），

∴∠ACE=∠ADF，

∵∠ACE+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACE，

∴∠ADF=∠B，

∴DF∥BC；

（2）作AG⊥DF，如图2，

∵AF平分∠CAE，CE⊥AE，

∴AE=AG，

在RT△ADG和RT△AEC中，

，

∴RT△ADG≌RT△AEC（HL），

∴∠D=∠ACE，

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，

∴∠ACE=∠B，

∴∠D=∠B，

∴DF∥BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DAF≌△CAF和RT△ADG≌RT△AEC是解题的关键．