Question

在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为7，直线y=mx-3m+4交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理

专题：

分析：根据题意画出图形，因为直线y=mx-4m+3必过点D（4，3），求出最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点C（7，0），求出OA的长，再利用勾股定理求出AD，即可得出答案．

解答：解：∵直线y=mx-3m+4必过点D（3，4），
∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD=5，
∵⊙O的半径为7，
∴C（7，0），
∴OA=OC=7，
∴AD=

AO2-OD2

=

72-52

=2

6

∴AB的长的最小值为4

6

，
故答案为：4

6

．

点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出AB最短时的位置．