题目内容
已知：如图，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）．
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）证明：在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）证明：在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）连结AQ、MD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
（2）根据已知得出△AMP∽△DQP，再根据相似三角形的性质得出
=
，求出AM的值，从而得出在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
（3）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=
（1+t），根据四边形ABCD是平行四边形，得出MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，得出y=
×AP×MN，假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，得出
t2+
t=
×3×
，最后进行整理，即可求出t的值．
（2）根据已知得出△AMP∽△DQP，再根据相似三角形的性质得出
| AM |
| DQ |
| AP |
| PD |
（3）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
解答：
解：（1）连结AQ、MD，
∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，
∴3t=3-3t，
解得：t=
，
∴t=
s时，四边形AQDM是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴
=
，
∴
=
，
∴AM=t，
即在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
（3）∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=AB+AM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=
（1+t），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
设四边形ANPM的面积为y，
∴y=
×AP×MN=
×3t×
（1+t）=
t2+
t（0＜t＜1）．
假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，
∴
t2+
t=
×3×
，
整理得：t2+t-1=0，
解得：t1=
，t2=
（舍去），
∴当t=
s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
解：（1）连结AQ、MD，∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，
∴3t=3-3t，
解得：t=
| 1 |
| 2 |
∴t=
| 1 |
| 2 |
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴
| AM |
| DQ |
| AP |
| PD |
∴
| AM |
| 1-t |
| 3t |
| 3-3t |
∴AM=t，
即在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
（3）∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=AB+AM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=
| ||
| 2 |
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
设四边形ANPM的面积为y，
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，
∴
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
整理得：t2+t-1=0，
解得：t1=
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
∴当t=
-1+
| ||
| 2 |
点评：本题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，是一道综合性较强的题，有一定难度．
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=
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| x-3 |
| x-2 |
| m |
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