Question

如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=20，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（不经过A，B两点），过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PF⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ．
（1）求证：PE∥BM；
（2）试判断PQ与⊙O的位置关系，并给予证明；
（3）以点P、A、E、O为顶点的四边形能否为菱形？若能，请说明点E与⊙O的位置关系，并求出PE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由BM切⊙O于点B，AB是⊙O的直径，可得BM⊥AB，再结合PE⊥AB，即可得出PE∥BM；
（2）由OQ∥AP，得出∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，再由半径相等求出∠APO=∠OAP，易得出△POQ≌△BOQ，可得∠OPQ=∠OBQ=90°即可得出结论．
（3）由点E在⊙O上时，即PE是⊙O的弦，可得EC=CP，AE=AP，∠AOE=∠AOP，由OE∥AP，可得∠AOE=∠OAP，∠AOP=∠OAP，AP=OP，从而AE=AP=OP=OE，即可得出四边形PAEO是菱形．

解答：（1）证明：∵BM切⊙O于点B，AB是⊙O的直径，
∴BM⊥AB，
∵PE⊥AB，
∴PE∥BM，
（2）PQ是⊙O的切线，
证明：∵OQ∥AP，
∴∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，
又∵OP=OA，
∴∠APO=∠OAP，
又∵∠BOQ=∠EOA=∠OAP，
∴∠POQ=∠BOQ，
∵OP=OB，OQ=OQ，
∴△POQ≌△BOQ，
∴∠OPQ=∠OBQ=90°，
∵点P在⊙O上，
∴PQ是⊙O的切线．
（3）解：能，点E在⊙O上，如图，

当点E在⊙O上时，即PE是⊙O的弦，
∵PE⊥AB，
∴EC=CP，
∴AE=AP，
∴∠AOE=∠AOP，
∵OE∥AP，
∴∠AOE=∠OAP，
∴∠AOP=∠OAP，
∴AP=OP，
从而AE=AP=OP=OE，
∴四边形PAEO是菱形，
∵PE⊥AB，
∴OC=

1

2

OA=5，
在Rt△POC中，PC=

102-52

=5

3

，
∴PE=2PC=10

3

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及三角形全等，圆的切线及菱形的判定．解题的关键是能正确的理清题意，正确画出图形．