题目内容
如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、
t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；
②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．
【答案】分析：（1）根据题意，得t秒时，点C的横坐标为5-t，纵坐标为0；过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PQ、DQ再求出OQ，从而得解；
（2）①当点A到达点D时，所用的时间是t的最小值，此时DC=OC-OD=5-t-3=
t，得到t≥
；
当圆C在点D左侧且与ED相切时，为t的最大值．
如图，易得Rt△CDF∽Rt△EDO，有
，求解得到t的最大值．
②当△PAB为等腰三角形时，有三种情况：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根据勾股定理，求得每种情况的t的值．
解答：解：（1）如图，t秒时，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
则PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=
t，DQ=
t．
∴C（5-t，0），
．
（2）
①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，
有
，即
．
当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，
则由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
则
，
解得
．
由
t，即
，解得
．
∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为
．
②当PA=AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q．
有PA2=PQ2+AQ2=
．
∴
，
即9t2-72t+80=0，
解得
．
当PA=PB时，有PC⊥AB，此时P，C横坐标相等，
∴
，
解得t3=5；
当PB=AB时，有
，
∴
，
即7t2-8t-80=0，
解得
（不合题意，舍去）．
∴当△PAB是等腰三角形时，
，或t=4，或t=5，或
．
又∵C是从M点向左运动的，故
，或t=4，或t=5或
．
点评：本题为代数与几何有一定难度的综合题，它综合考查了用变量t表示点的坐标，直线（射线）与圆的位置关系，相似三角形和方程不等式等方面的知识．
重点考查学生是否认真审题，挖掘出题中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想，方程的思想，数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．
由于本题入口平台较高，不少学生在第（1）题中就畏缩不前，第（2）题中的第①题中，不少学生把射线DE误为直线，在第（2）题中的第②题，分类讨论不全面．
（2）①当点A到达点D时，所用的时间是t的最小值，此时DC=OC-OD=5-t-3=
t，得到t≥；当圆C在点D左侧且与ED相切时，为t的最大值．
如图，易得Rt△CDF∽Rt△EDO，有
，求解得到t的最大值．②当△PAB为等腰三角形时，有三种情况：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根据勾股定理，求得每种情况的t的值．
解答：解：（1）如图，t秒时，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
则PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=
t，DQ=t．∴C（5-t，0），
．（2）
①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，
有
，即．当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，
则由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
则
，解得
．由
t，即，解得．∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为
．②当PA=AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q．
有PA2=PQ2+AQ2=
．∴
，即9t2-72t+80=0，
解得
．当PA=PB时，有PC⊥AB，此时P，C横坐标相等，
∴
，解得t3=5；
当PB=AB时，有
，∴
，即7t2-8t-80=0，
解得
（不合题意，舍去）．∴当△PAB是等腰三角形时，
，或t=4，或t=5，或．又∵C是从M点向左运动的，故
，或t=4，或t=5或．点评：本题为代数与几何有一定难度的综合题，它综合考查了用变量t表示点的坐标，直线（射线）与圆的位置关系，相似三角形和方程不等式等方面的知识．
重点考查学生是否认真审题，挖掘出题中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想，方程的思想，数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．
由于本题入口平台较高，不少学生在第（1）题中就畏缩不前，第（2）题中的第①题中，不少学生把射线DE误为直线，在第（2）题中的第②题，分类讨论不全面．
练习册系列答案
相关题目
以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．
交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动，设运动时间为t秒，
个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．