Question

如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，设运动时间为t秒，以点C为圆心、

1

2

t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）请用含t的代数式分别表示出点A、B、C的坐标；
（2）①当⊙C恰好经过D点时，求t的值；
②当⊙C与射线DE相切时，求t的值；
（3）直接写出当⊙C与射线DE有公共点时t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据CM=t，CO-AC=OM-CM-AC=5-t-

1

2

t=5-

3

2

t，进而得出A，B，C点坐标即可；
（2）①当⊙C恰好经过D点时，点A或点B与D重合，进而得出等式方程求出即可；
②由图可知，当点C在点D左侧时，⊙C才能与射线DE相切，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，得△CDF∽△EDO，求出t的值即可；
（3）当点A到达点D时，所用的时间是t的最小值，此时DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

，当圆C在点D左侧且与ED相切时，为t的最大值，即可得出t的取值范围．

解答：解：（1）根据点C从M点向左移动，
则CM=t，CO-AC=OM-CM-AC=5-t-

1

2

t=5-

3

2

t，
BO=5-

3

2

t+t=5-

1

2

t，
故A(5-

3

2

t，0)、B(5-

1

2

t，0)、C（5-t，0）．

（2）①当⊙C恰好经过D点时，点A或点B与D重合，
∴5-

3

2

t=3或5-

1

2

t=3，解得t=

4

3

或t=4，
∴当⊙C恰好经过D点时t的值为

4

3

或4．
②由图可知，当点C在点D左侧时，⊙C才能与射线DE相切，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，
则由∠CDF=∠EDO，得△CDF∽△EDO，
则

CF

4

=

3-(5-t)

5

．解得CF=

4t-8

5

．
∵⊙C与射线DE相切，∴CF=

1

2

t，即

4t-8

5

=

1

2

t，解得t=

16

3

．
∴当⊙C与射线DE相切时，t的值为

16

3

；

（3）当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
利用（2）中CF=

4t-8

5

，
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为

4

3

≤t≤

16

3

．

点评：本题为代数与几何有一定难度的综合题，它综合考查了用变量t表示点的坐标，直线（射线）与圆的位置关系，相似三角形和方程不等式等方面的知识．重点考查学生是否认真审题，挖掘出题中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想，方程的思想，数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．