Question

2．若关于x的方程（1-2k）x²-2$\sqrt{k+1}$x-1=0，当k为何值时，①有两个不相等的实数解？②有两个相等的实数解？③无解？④有解？

Answer 1

分析 ①方程有两个不相等实数根，则1-2k≠0，k+1≥0，且△＞0，建立关于k的不等式组，求得k的取值范围；
②方程有两个相等实数根，则1-2k≠0，k+1≥0，且△=0，依此即可求得k的值；
③方程无解，则1-2k≠0，k+1≥0，且△＜0，或k+1＜0，依此即可求得k的取值范围；
④分两种情况：如果k=$\frac{1}{2}$，是一元一次方程，一定有解；如果1-2k≠0，是一元二次方程，由①与②即可得解．

解答 解：①由题意得，1-2k≠0，k+1≥0，且△=4（k+1）-4（1-2k）（-1）=8-4k＞0，
解得-1≤k＜2且k≠$\frac{1}{2}$；

②由题意得，1-2k≠0，k+1≥0，且△=4（k+1）-4（1-2k）（-1）=8-4k=0，
解得k=2；

③由题意得，1-2k≠0，k+1≥0，且△=8-4k＜0，或k+1＜0，
解得k＞2或k＜-1；

④分两种情况：
如果k=$\frac{1}{2}$，是一元一次方程，一定有解；
如果1-2k≠0，是一元二次方程，由①与②可知-1≤k≤2且k≠$\frac{1}{2}$；
综上可知，-1≤k≤2．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
也考查了一元二次方程的定义，二次根式的性质以及分类讨论的思想．