Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD²与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．

Answer 1

分析 （1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD²与AC•CD的值，从而可得到AD²与AC•CD的关系；
（2）由（1）可得到BD²=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．

解答 解：（1）∵AD=BC，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，DC=1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
∴AD²=$\frac{5+1-2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，AC•CD=1×$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
∴AD²=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD²=AC•CD，
∴BC²=AC•CD，即$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}=1$，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．