Question

11．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA，DM⊥BE于M．
（1）求证：AC=BM+CM；
（2）若AC=2，BC=1，求CM的长．

Answer 1

分析 （1）作DN⊥AC于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN=CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，可得AN=BM，即可解题；
（2）利用（1）中的结论变形得出答案即可．

解答 （1）证明：作DN⊥AC于N，
∵CD平分∠ACE，DM⊥BE
∴DN=DM，
在Rt△DCN和Rt△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=CD\\ DN=DM\end{array}\right.$
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），
∴CN=CM，
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\ DN=DM\end{array}\right.$
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN=BM，
∵AC=AN+CN，
∴AC=BM+CM．   
（2）解：∵AN=AC-CN，BM=BC+CM，
∴AC-CN=BC+CM，
∴AC-CM=BC+CM，
∴2CM=AC-BC，
∵AC=2，BC=1，
∴CM=0.5．

点评 本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN=CM，AN=BM是解题的关键．