Question

5．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
（1）BF为∠ABE的角平分线；
（2）DF=2BF；
（3）2AB²=DF•DB；
（4）sin∠BAE=$\frac{EF}{AF}$．
其中正确的结论为（1）（3）（4）（填序号）

Answer 1

分析 （1）正确．根据菱形性质即可判定．
（2）错误．假设成立推出矛盾即可．
（3）正确．由△ADO∽△FDA，得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{DO}{AD}$，AD²=DO•DF，两边乘2即可得到证明
（4）正确．由AD∥BC，得$\frac{EF}{AF}$=$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，又sin∠BAE=$\frac{EB}{AB}$，由此即可证明．

解答 解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，BD⊥AC，DO=OB，故（1）正确，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AD⊥AE，
∵∠ADO=∠ADF，∠AOD=∠DAF=90°，
∴△ADO∽△FDA，
∴$\frac{AD}{DF}$=$\frac{DO}{AD}$，
∴AD²=DO•DF，
∴2AD²=2DO•DF，
∵AB=AD，BD=2DO，
∴2AB²=DF•DB，故（3）正确，
∵AD∥BC，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，
∵sin∠BAE=$\frac{EB}{AB}$，
∴sin∠BAE=$\frac{EF}{AF}$，故（4）正确．
∵$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AD}{BE}$，
如果DF=2BF，那么AD=2BE，所以BE=EC，这个显然不可能，故②错误，
∴正确的有（1）（3）（4）
故答案为（1）（3）（4）．

点评 本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．