题目内容
【题目】阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段
绕它固定的一个端点
旋转一周，另一个端点
所形成的图形叫做圆.就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在
，半径为
的圆的方程可以写为：
， 如：圆心在
，半径为5的圆方程为：
（1）填空：以
为圆心，
为半径的圆的方程为______；
（2）根据以上材料解决下列问题：如图2， 以
为圆心的圆与
轴相切于原点，
是
上一点，连接
，作
垂足为
，延长
交轴于点
，已知
．
①连接
，证明是的切线；
②在
上是否存在一点，使
？若存在，求点坐标，并写出以为圆心，以
为半径的
的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）①见解析；②存在，以
为圆心，以
为半径的
方程为
．
【解析】
（1）根据阅读材料中的定义求解；
（2）①根据垂径定理由BD⊥OC得到CD=OD，则BE垂直平分OC，再根据线段垂直平分线的性质得EO=EC，则∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得到EC是⊙B的切线；
②由∠BOE=∠BCE=90°，根据圆周角定理得点C和点O都在以BE为直径的圆上，即当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，则sin∠BOE=sin∠AOC=
，在Rt△BOE中，利用正弦的定义计算出BE=5，利用勾股定理计算出OE=4，则E点坐标为（0，4），于是得到线段BE的中点P的坐标为
，然后写出以P
为圆心，以为半径的⊙P的方程．
（1）根据题意可得：以
为圆心，
为半径的圆的方程为
故答案为：
（2）①
垂直平分
，
，
是
的切线
②存在，
点
和点
都在以
为直径的圆上，
当
点为的中点时，满足
点坐标为
在
中，
点坐标为
，
线段BE的中点的坐标为，
以为圆心，以为半径的的方程为
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