题目内容

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果都保留π）

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18次，就是这样的6个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长．
解答：

解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
第一次旋转的弧长= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
∵第一、二次旋转的弧长和= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ π= $\text{[math]}$ π，
第三次旋转的弧长为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（ $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ ）=（4 $\text{[math]}$ +2）π，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（ $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ nπ．
故答案为： $\text{[math]}$ π，（4 $\text{[math]}$ +2）π， $\text{[math]}$ nπ．
点评：本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3次一循环进而得出经过路径是解题的关键．