Question

13．如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=9，过点A，C作相距为3的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则FE的长是（　　）

• A． 5
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{26}$

Answer 1

分析 过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到AE=AF，列方程即可得到DE的长，再由勾股定理求出AE=AF=5，得出HE的长，然后由勾股定理求出EF的长即可．

解答 解：过F作FH⊥AE于H，如图所示：
则FH=3=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∴AF=9-DE，
∴AE=$\sqrt{9+D{E}^{2}}$，
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，
∴∠DAE=∠AFH，
∴△ADE∽△AFH，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{FH}$=$\frac{DE}{AH}$=1，
∴AE=AF，DE=AH，
∴$\sqrt{9+D{E}^{2}}$=9-DE，
解得：DE=4，
∴AH=4，
∴AF=AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5，
∴HE=AE-AH=1，
∴EF=$\sqrt{H{E}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．