Question

4．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．

Answer 1

分析 （1）由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角的余角相等即可解决问题．
（2）利用面积法首先证明$\frac{BE}{PB}$=$\frac{ED}{PD}$=$\frac{1}{3}$，再证明△BEO∽△PEB，得$\frac{BO}{PB}$=$\frac{OE}{BE}$，即$\frac{OE}{BO}$=$\frac{BE}{PB}$=$\frac{1}{3}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OB．
∵PB是⊙O切线，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBD+∠OBD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵OP⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠PBD=∠EBD，
∴BD平分∠PBC．
（2）解：作DK⊥PB于K，
∵$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BDP}}$=$\frac{\frac{1}{2}BE•DE}{\frac{1}{2}PB•DK}$=$\frac{DE}{DP}$，
∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，
∴DK=DE，
∴$\frac{BE}{PB}$=$\frac{ED}{PD}$=$\frac{1}{3}$（也可以利用sinP=$\frac{DK}{PD}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{3}$，推出$\frac{BE}{PB}$=$\frac{1}{3}$），
∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，
∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，
∴△BEO∽△PEB，
∴$\frac{BO}{PB}$=$\frac{OE}{BE}$，
∴$\frac{OE}{BO}$=$\frac{BE}{PB}$=$\frac{1}{3}$，
∵BO=1，
∴OE=$\frac{1}{3}$，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC，∵AO=OC，
∴AB=2OE=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．