题目内容
如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．
分析：设MN与EF交于点P，NE∥BC，证明△PNE∽△PBC，再利用ME∥BF，证明△PME∽△PBF，再利用PNF∽△PMC，其对应角相等，即可解题．
解答：
解：设MN与EF交于点P．
∵NE∥BC，
∴△PNE∽△PBC，
∴
=
，
∴PB•PE=PN•PC．
又∵ME∥BF，
∴△PME∽△PBF，
∴
=
，
∴PB•PE=PM•PF．
∴PN•PC=PM•PF，
故
=
，
又∠FPN=∠MPE，
∴△PNF∽△PMC，
∴∠PNF=∠PMC，
∴NF∥MC，
∴∠ANF=∠EDM．
又∵ME∥BF，
∴∠FAN=∠MED，
∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED，
∴∠AFN=∠DME．
解：设MN与EF交于点P．∵NE∥BC，
∴△PNE∽△PBC，
∴
| PN |
| PB |
| PE |
| PC |
∴PB•PE=PN•PC．
又∵ME∥BF，
∴△PME∽△PBF，
∴
| PM |
| PB |
| PE |
| PF |
∴PB•PE=PM•PF．
∴PN•PC=PM•PF，
故
| PM |
| PN |
| PC |
| PF |
又∠FPN=∠MPE，
∴△PNF∽△PMC，
∴∠PNF=∠PMC，
∴NF∥MC，
∴∠ANF=∠EDM．
又∵ME∥BF，
∴∠FAN=∠MED，
∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED，
∴∠AFN=∠DME．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行线的判定与性质的理解和掌握，有点难度，属于中档题．
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